कैलकुलस उदाहरण

$y = 7^{2 x} \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 7^{2 x}$ और $g (x) = \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$ है.

$7^{2 x} \frac{d}{d x} [\log (7 x^{3} - 4 x + 5)] + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log (x)$ और $g (x) = 7 x^{3} - 4 x + 5$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $7 x^{3} - 4 x + 5$ के रूप में सेट करें.

$7^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\log (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ है.

$7^{2 x} (\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $7 x^{3} - 4 x + 5$ से बदलें.

$7^{2 x} (\frac{1}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)}$ और $7^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5] + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $7 x^{3} - 4 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.3

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x^{3}$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.5

$3$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.6

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.8

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 + 0) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 3.10

$21 x^{2} - 4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = 7^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [7^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $7$ है.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{u_{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.2

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) (2 \cdot 1))$

चरण 5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) \cdot 2)$

चरण 5.3.2

$2$ को $7^{2 x} \ln (7)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (2 \cdot (7^{2 x} \ln (7)))$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{7^{2 x}}{7 x^{3} \ln (10) - 4 x \ln (10) + 5 \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (2 \cdot 7^{2 x} \ln (7))$

चरण 6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(21 x^{2} - 4) \frac{7^{2 x}}{7 x^{3} \ln (10) - 4 x \ln (10) + 5 \ln (10)} + 2 \cdot 7^{2 x} \ln (7) \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$