कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{9 x^{2} - 1}{3 x - 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 9 x^{2} - 1$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1] - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{(3 x - 1) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(3 x - 1) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.4

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{(3 x - 1) (18 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(3 x - 1) (18 x + 0) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$18 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(3 x - 1) (18 x) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.6.2

$18$ को $3 x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{18 \cdot (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.8

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.10

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 2.12.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{18 (3 x - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(18 (3 x) + 18 \cdot - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{18 (3 (x \cdot x)) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{18 (3 x^{2}) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2

$3$ को $18$ से गुणा करें.

$\frac{54 x^{2} + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.3

$18$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.4

$9$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.5

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$54 x^{2}$ में से $27 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{27 x^{2} - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$27 x^{2} - 18 x + 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$27 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9 x^{2}) - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.2

$- 18 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.3

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.4

$3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.5

$3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$9 x^{2}$ को ${(3 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

चरण 3.5.2.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 3 x$ और $b = 1$ है.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6

${(3 x - 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$3$