कैलकुलस उदाहरण

$y = \cos^{5} (2 x^{2} - 9)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = \cos (2 x^{2} - 9)$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos (2 x^{2} - 9)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos (2 x^{2} - 9)$ से बदलें.

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x^{2} - 9$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x^{2} - 9$ के रूप में सेट करें.

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

चरण 2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x^{2} - 9$ से बदलें.

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} - 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ है.

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

चरण 3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])$

चरण 3.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

चरण 3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + 0)$

चरण 3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.7.1

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x)$

चरण 3.7.2

$4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$

चरण 3.7.3

$- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 20 x \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9)$