कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{\cos (π x)}{\sin (π x) + \cos (π x)}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (π x)$ और $g (x) = \sin (π x) + \cos (π x)$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) \frac{d}{d x} [\cos (π x)] - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = π x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \cdot 1)) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 3.3

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (π x) + \cos (π x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = π x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 5.2

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 5.3

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 6

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 6.2

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{3})$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 6.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 7

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 7.2

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \cdot 1))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 7.3

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ में से $\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ घटाएं.

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) + 0}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.1.2

$\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- π \sin (π x) \sin (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2.2

$- π \sin (π x) \sin (π x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.2.1

$\sin (π x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2.2.2

$\sin (π x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin^{1} (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- π {\sin (π x)}^{1 + 1} - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2.3

$- \cos (π x) (\cos (π x) π)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.3.1

$\cos (π x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2.3.2

$\cos (π x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos^{1} (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - {\cos (π x)}^{1 + 1} π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.2.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.3.3

गुणनखंडों को $- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.4

$- π \sin^{2} (π x)$ में से $- π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.5

$- π \cos^{2} (π x)$ में से $- π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.6

$- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))$ में से $- π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- π (\sin^{2} (π x) + \cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.7

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{- π \cdot 1}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

चरण 8.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$