कैलकुलस उदाहरण

$y = \log_{3} (\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x})$

चरण 1

$\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x}$ को ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\log_{3} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log_{3} (x)$ और $g (x) = {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\log_{3} (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ है.

$\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ और $g (x) = 2 x^{4} - 6 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x^{4} - 6 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{4}$ है.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x^{4} - 6 x$ से बदलें.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 7.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 9

$\frac{1}{4}$ और ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{{(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

चरण 11

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}}$ को $\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

चरण 12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

चरण 13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 + 3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

चरण 13.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

चरण 14

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

चरण 14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

चरण 15

सरल करें.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

चरण 16

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{4} - 6 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ है.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

चरण 17

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{4}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

चरण 18

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

चरण 19

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

चरण 20

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 21

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \cdot 1)$

चरण 22

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

चरण 23

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{(4 (2 x^{4}) + 4 (- 6 x)) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

चरण 23.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4 (2 x^{4}) \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

चरण 23.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.3.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

चरण 23.3.2

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

चरण 23.4

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)}$

चरण 23.5

$8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)$ में से $8 x \ln (3)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.5.1

$8 x^{4} \ln (3)$ में से $8 x \ln (3)$ का गुणनखंड करें.

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) - 24 x \ln (3)}$

चरण 23.5.2

$- 24 x \ln (3)$ में से $8 x \ln (3)$ का गुणनखंड करें.

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)}$

चरण 23.5.3

$8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)$ में से $8 x \ln (3)$ का गुणनखंड करें.

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

चरण 23.6

$8 x^{3} - 6$ को $\frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{3} - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

चरण 23.7

$8 x^{3} - 6$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.7.1

$8 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (4 x^{3}) - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

चरण 23.7.2

$- 6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

चरण 23.7.3

$2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

चरण 23.7.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.7.4.1

$8 x \ln (3) (x^{3} - 3)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

चरण 23.7.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

चरण 23.7.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 x^{3} - 3}{4 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$