कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin^{2} (e^{3 x + 1})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (e^{3 x + 1})$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (e^{3 x + 1})$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (e^{3 x + 1})$ से बदलें.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = e^{3 x + 1}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $e^{3 x + 1}$ के रूप में सेट करें.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

चरण 2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{3 x + 1}$ से बदलें.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\cos (e^{3 x + 1}) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x + 1$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $3 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ $a^{u_{3}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

चरण 3.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $3 x + 1$ से बदलें.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 + 0))$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} \cdot 3)$

चरण 4.6.2

$3$ को $e^{3 x + 1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (3 \cdot e^{3 x + 1})$

चरण 4.6.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) e^{3 x + 1}$

चरण 4.6.4

$6 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) e^{3 x + 1}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$6 e^{3 x + 1} \cos (e^{3 x + 1}) \sin (e^{3 x + 1})$