कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{\frac{x}{a}}$ को ${(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \frac{x}{a}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{x}{a}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{a}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.3

चूंकि $\frac{1}{a}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{a}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.8.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.10

$\frac{1}{a}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.11

$\frac{1}{a}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{a \cdot 2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 2.12

$2$ को $a$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{\frac{a}{x}}$ को ${(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \frac{a}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\frac{a}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{a}{x}$ से बदलें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

चरण 3.3

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{a}{x}$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 3.4

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a (- x^{- 2}))$

चरण 3.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

चरण 3.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

चरण 3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

चरण 3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

चरण 3.9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

चरण 3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

चरण 3.11

$a$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{a}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

चरण 3.12

$\frac{a}{2}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a x^{- 2}}{2})$

चरण 3.13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.2

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.3

उत्पाद नियम को $\frac{a}{x}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.4

उत्पाद नियम को $\frac{x}{a}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$\frac{1}{2 a}$ को $\frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 a x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $a^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 a x^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5.3

घातांक जोड़कर $a$ को $a^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.1

$a^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5.3.2

$a^{- \frac{1}{2}}$ को $a$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1

$a$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a^{1}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5.3.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5.3.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

चरण 4.5.4

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{a}{2 x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{a^{\frac{1}{2}} (2 x^{2})}$

चरण 4.5.5

$2$ को $a^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{2 \cdot a^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 4.5.7

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.7.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

चरण 4.5.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

चरण 4.5.7.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

चरण 4.5.7.4

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

चरण 4.5.7.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

चरण 4.5.7.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.7.6.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

चरण 4.5.7.6.2

$- 1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5.8

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $a^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5.9

घातांक जोड़कर $a$ को $a^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.9.1

$a$ को $a^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.9.1.1

$a$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5.9.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5.9.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5.9.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5.9.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$