कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2 \cos (x)}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 1.1

$x^{2 \cos (x)}$ को $e^{\ln (x^{2 \cos (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \cos (x)})}]$

चरण 1.2

$2 \cos (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{2 \cos (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \cos (x) \ln (x)}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 \cos (x) \ln (x)$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 \cos (x) \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 \cos (x) \ln (x)$ से बदलें.

$e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

चरण 3

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x) \ln (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ है.

$e^{2 \cos (x) \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

चरण 3.2

$2$ को $e^{2 \cos (x) \ln (x)}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

चरण 4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 5

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 6

$\cos (x)$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 7

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

चरण 8.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 8.2.1

$\frac{\cos (x)}{x}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{x} e^{2 \cos (x) \ln (x)} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

चरण 8.2.2

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{x}$ और $e^{2 \cos (x) \ln (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x) \cdot 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

चरण 8.2.3

$2$ को $\cos (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

चरण 8.2.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

चरण 8.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{2 \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x}$