कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ है.

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 2 \ln (x)$ है.

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चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 2 \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 \ln (x)$ से बदलें.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 2.3

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 2.4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.6

$- 2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.8

$e^{- 2 \ln (x)}$ और $\frac{2}{x}$ को मिलाएं.

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.9

$2$ को $e^{- 2 \ln (x)}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.10

$x^{4}$ और $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ को मिलाएं.

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.11

$x^{4}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

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चरण 2.11.1

$x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.11.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.11.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.11.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.11.2.5

$x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.12

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

चरण 2.13

$- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ और $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ जोड़ें.

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चरण 2.13.1

$e^{- 2 \ln (x)}$ ले जाएं.

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

चरण 2.13.2

$- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ और $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ जोड़ें.

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

चरण 3.2

गुणनखंडों को $2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$