कैलकुलस उदाहरण

$y = x e^{3 x - 1}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{3 x - 1}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{3 x - 1}] + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x - 1$ से बदलें.

$x (e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$x (e^{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (e^{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (e^{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$x (e^{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (e^{3 x - 1} (3 + 0)) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$x (e^{3 x - 1} \cdot 3) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.6.2

$3$ को $e^{3 x - 1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (3 \cdot e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.7

$x (3 e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1} \cdot 1$

चरण 3.8

$e^{3 x - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (3 e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1}$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 e^{3 x - 1} x + e^{3 x - 1}$

चरण 4.2

गुणनखंडों को $3 e^{3 x - 1} x + e^{3 x - 1}$ में पुन: क्रमित करें.

$3 x e^{3 x - 1} + e^{3 x - 1}$