कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{2} x^{2})$

चरण 1

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{2}}{2})]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = \ln (x - \frac{x^{2}}{2})$ है.

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{2}}{2})] + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x - \frac{x^{2}}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - \frac{x^{2}}{2}$ के रूप में सेट करें.

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - \frac{x^{2}}{2}$ से बदलें.

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{x - \frac{x^{2}}{2}}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}] + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - \frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ है.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.4

चूंकि $- \frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - \frac{1}{2} (2 x)) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - 2 (\frac{1}{2}) x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.6.2

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- 2}{2} x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.6.3

$\frac{- 2}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- 2 x}{2}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.6.4

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.4.1

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.6.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.6.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.6.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- x}{1}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.6.4.2.4

$- x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) (4 x^{3})$

चरण 4.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(1 - x) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{2}}{2})$