कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$

चरण 1

$\sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$ को ${(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ और $g (x) = \frac{x + 2}{x + 3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x + 2}{x + 3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{8}$ है.

$\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x + 2}{x + 3}$ से बदलें.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 6.2

$1$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

चरण 8

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 2$ और $g (x) = x + 3$ है.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.4.2

$x + 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.6

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.7

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 9.8.3

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} \cdot 8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

चरण 9.8.4

$8$ को ${(x + 3)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x + 2})}^{\frac{7}{8}}$

चरण 10.2

उत्पाद नियम को $\frac{x + 3}{x + 2}$ पर लागू करें.

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + 3 - x - 1 \cdot 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x + 3 - x - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.2

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{0 + 3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.3

$0$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.4

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.5

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}}$ को $\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$ से गुणा करें.

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके ${(x + 3)}^{\frac{7}{8}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}} {(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.7

घातांक जोड़कर ${(x + 3)}^{2}$ को ${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.7.1

${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{8 ({(x + 3)}^{- \frac{7}{8}} {(x + 3)}^{2}) {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.7.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.7.4

$2$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.7.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.7.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.7.6.1

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 16}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

चरण 10.4.7.6.2

$- 7$ और $16$ जोड़ें.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{9}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$