कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - 4$ और $g (x) = x^{2} - 2 x$ है.

$\frac{(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{(x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.4.2

$2$ को $x^{2} - 2 x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.6

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.7

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.9

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x)) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 (x \cdot x)) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.3

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.4

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} + 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x^{2} + 4) (2 x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x - 2) + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.6.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.6.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.6.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6.4

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6.5

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6.6

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{- 4 x^{2} + 0 + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.2.2

$- 4 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.4.3

$- 4 x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 2 x^{2} + 8 x - 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$- 2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.1.2

$8 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.1.3

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.1.4

$2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.1.5

$2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ है और जिसका योग $b = 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.2.1.2

$4$ को $2$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{2 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- x + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{2 ((- x + 2) (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (x) + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3.2

$2$ को $- 1 (- 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3.3

$- (x) - 1 (- 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3.4

$- (x - 2)$ को $- 1 (x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3.5

$x - 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3.6

$x - 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.5.3.9

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$x^{2} - 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x - 2 x)}^{2}}$

चरण 3.6.1.2

$- 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2}}$

चरण 3.6.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 2$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x (x - 2))}^{2}}$

चरण 3.6.2

उत्पाद नियम को $x (x - 2)$ पर लागू करें.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

चरण 3.7

${(x - 2)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

चरण 3.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 2}{x^{2}}$

चरण 3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{x^{2}}$