कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x^{3}}{1 - x^{2}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{(1 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2.2

$3$ को $1 - x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2.6

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2.7

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2.7.2

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4

$2$ को $x^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.3.1.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.3.1.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.3.2

$- 3 x^{4}$ और $2 x^{4}$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} - x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x^{4} + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 5.5

$- x^{4} + 3 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$- x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 5.5.2

$3 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 5.5.3

$x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 5.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

चरण 5.6.2

$- x^{2}$ और $1^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

चरण 5.6.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

चरण 5.6.4

उत्पाद नियम को $(1 + x) (1 - x)$ पर लागू करें.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

चरण 5.7

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

चरण 5.8

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

चरण 5.9

$- (x^{2}) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (- (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

चरण 5.10

$- (x^{2} - 3)$ को $- 1 (x^{2} - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (- 1 (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

चरण 5.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x^{2} (x^{2} - 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$