कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)}$

चरण 1

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)}$ को ${((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 1}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ से बदलें.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - 1$ और $g (x) = x^{2} + x + 1$ है.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4.5

$2 x + 1$ और $0$ जोड़ें.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 4.7

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 4.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x + 0))$

चरण 4.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x))$

चरण 4.9.2

$2$ को $x^{2} + x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 \cdot (x^{2} + x + 1) x)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{{((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{2} + x + 1) x)$

चरण 5.2

उत्पाद नियम को $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ पर लागू करें.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{2} + x + 1) x)$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x)$

चरण 5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 5.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 5.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 5.5.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 5.5.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

चरण 5.5.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

चरण 5.5.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

चरण 5.5.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

चरण 5.5.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$

चरण 5.6

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} - 1) (2 x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (x^{2} (2 x + 1) - 1 (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

$x$ ले जाएं.

$- (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- (2 x^{3} + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.8

$2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 0) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.8.2

$2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2}) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.9

$2 x^{3}$ और $2 x^{3}$ जोड़ें.

$- (4 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{2}) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.10

$x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.11

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- (4 x^{3}) - (3 x^{2}) - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.12.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(- 4 x^{3} - (3 x^{2}) - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.12.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.12.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.13

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.13.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.13.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.13.3

उत्पाद नियम को $(x + 1) (x - 1)$ पर लागू करें.

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.14

$- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ को $\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.15

$- 4 x^{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (4 x^{3}) - 3 x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.16

$- 3 x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (4 x^{3}) - (3 x^{2}) + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.17

$- (4 x^{3}) - (3 x^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2}) + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.18

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.19

$- (4 x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.20

$- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)$ को $- 1 (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

चरण 5.21

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$