कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{2 x^{2} + 3}{\cos (x)}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x^{2} + 3$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

चरण 2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\cos (x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

चरण 2.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\cos (x) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

चरण 2.6

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

चरण 3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4

गुणा करें.

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चरण 4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x) (4 x) + 1 (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.2

$2 x^{2} + 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x) (4 x) + (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\cos (x) (4 x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 5.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

चरण 5.2.2

गुणनखंडों को $4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{4 x \cos (x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$