कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \sqrt{25 - x^{2}})$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - x^{2}}]$

चरण 1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ और $\sqrt{25 - x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{25 - x^{2}}}{2}]$

चरण 1.2.2

$\sqrt{25 - x^{2}}$ को ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

चरण 1.3

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 25 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $25 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $25 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 8.4

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $25 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 10

चूंकि $x$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 11

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 12

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 14

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 14.2

$- 2$ और $\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 14.3

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 15

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 16

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 17

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 18

$- 2 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 19

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 19.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 19.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 20

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 21

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

चरण 22

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

$2$ को ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

चरण 22.2

${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 23

$2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 24

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 25

घातांक जोड़कर ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 25.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 25.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 25.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 25.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 26

$2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 27

$\frac{1}{2}$ को $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.2.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.2.1.2.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.2.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.2.1.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.2.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.2.1.4

$25$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.2.2

$- x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{- 3 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.3

$- 3 x^{3} + 50 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.3.1

$- 3 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.3.2

$50 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.3.3

$x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- 3 x^{2} + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.4

$- 3 x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.5

$50$ को $- 1 (- 50)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.6

$- (3 x^{2}) - 1 (- 50)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.7

$- (3 x^{2} - 50)$ को $- 1 (3 x^{2} - 50)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 28.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x (3 x^{2} - 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$