कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 4 - 3 x$ और $g (x) = 3 x^{2} + x$ है.

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ है.

$\frac{(3 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(3 x^{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ जोड़ें.

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.4

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \cdot 1) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(3 x^{2} + x) \cdot - 3 - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.6.2

$- 3$ को $3 x^{2} + x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 3 \cdot (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.8

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.10

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 2.11

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.2

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 + 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(- 4 + 3 x) (6 x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x + 1) + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1.1

$6$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4.1.5

$3$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4.1.6

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4.2

$- 24 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4 + 18 x^{2}}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.2

$- 9 x^{2}$ और $18 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.3.3

$- 3 x$ में से $21 x$ घटाएं.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

चरण 3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$3 x^{2} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$3 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x^{1})}^{2}}$

चरण 3.4.1.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x \cdot 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.4

$x (3 x) + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

चरण 3.4.2

उत्पाद नियम को $x (3 x + 1)$ पर लागू करें.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$