कैलकुलस उदाहरण

$y = {\sin (x)}^{3 x}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 1.1

${\sin (x)}^{3 x}$ को $e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}]$

चरण 1.2

$3 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({\sin (x)}^{3 x})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x \ln (\sin (x))}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x \ln (\sin (x))$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x \ln (\sin (x))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x \ln (\sin (x))$ से बदलें.

$e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

चरण 3

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x \ln (\sin (x))$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$ है.

$e^{3 x \ln (\sin (x))} (3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

चरण 3.2

$3$ को $e^{3 x \ln (\sin (x))}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \cdot e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

चरण 4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (\sin (x))$ है.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

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चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6

$\frac{1}{\sin (x)}$ को $\csc (x)$ में बदलें.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 8.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

चरण 8.2

$\ln (\sin (x))$ को $1$ से गुणा करें.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

चरण 9

सरल करें.

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चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

चरण 9.2

कोष्ठक हटा दें.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

चरण 9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$