कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{- 2 x}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{2 x}$ और $g (x) = 1 + e^{- 2 x}$ है.

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 3.3.2

$2$ को $(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{- 2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ है.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 3.6

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ जोड़ें.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{- 2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 6

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{0} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 6.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 6.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 7

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 8

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 9

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \cdot 1}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 10

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.3.1.2

घातांक जोड़कर $e^{- 2 x}$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.2.1

$e^{2 x}$ ले जाएं.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{- 2 x}) + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x - 2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.3.1.2.3

$2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{0} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.3.1.3

$2 e^{0}$ को सरल करें.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.3.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 e^{2 x} + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.4

$2 e^{2 x} + 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$2 e^{2 x}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (e^{2 x}) + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.4.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 \cdot 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

चरण 11.4.3

$2 e^{2 x} + 2 \cdot 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (e^{2 x} + 2)}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$