कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 1 + 2 e^{x}$ है.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{x}]}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ है.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ जोड़ें.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x}]}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - 2 e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 4

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - 2 e^{x} e^{x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 5

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - 2 (e^{x} e^{x})}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - 2 e^{x + x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 5.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{(1 + 2 e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 6.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} + 2 e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.2.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$\frac{e^{x} + 2 (e^{x} e^{x}) - 2 e^{2 x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 6.2.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{x} + 2 e^{x + x} - 2 e^{2 x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 6.2.1.2.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{e^{x} + 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 6.2.2

$e^{x} + 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2 e^{2 x}$ में से $2 e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{e^{x} + 0}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{e^{x}}{{(1 + 2 e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$