कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ और $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ है.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}] - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 4.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 5.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 5.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 6

$e^{x} - e^{- x}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 7

$e^{x} - e^{- x}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 9

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 9.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} - e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ है.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 10

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 11

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{- x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 12

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 12.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 12.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 13

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 13.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 13.2.2

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 13.3

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 13.4

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 14

$e^{x} + e^{- x}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 15

$e^{x} + e^{- x}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 16

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - {(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 17

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - {(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = e^{x} - e^{- x}$ और $b = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x} + e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.2.1

$e^{x}$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{(2 e^{x} - e^{- x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.2

$- e^{- x}$ और $e^{- x}$ जोड़ें.

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.3

$2 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} - e^{- x} - e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.5

$e^{x}$ में से $e^{x}$ घटाएं.

$\frac{2 e^{x} (0 - e^{- x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.6

$0$ में से $e^{- x}$ घटाएं.

$\frac{2 e^{x} (- e^{- x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.7

$- e^{- x}$ में से $e^{- x}$ घटाएं.

$\frac{2 e^{x} \cdot - 2 e^{- x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.8

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.2.8.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.8.2

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.2.8.2.1

$e^{- x}$ ले जाएं.

$\frac{- 4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.8.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- 4 e^{- x + x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.8.2.3

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{- 4 e^{0}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.1.2.8.3

$- 4 e^{0}$ को सरल करें.

$\frac{- 4}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

चरण 18.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$