कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 6}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 6}$ और $g (x) = x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 6$ है.

$- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ से बदलें.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 8$ है.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.3

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x^{4}$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.5

$4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.6

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2 \cdot 1)$

चरण 2.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

चरण 3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 6 \frac{1}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.1.1

$- 6$ और $\frac{1}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

चरण 4.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

चरण 4.2

$- \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2) \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}}$