कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{3}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ से बदलें.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x - 4$ और $g (x) = 3 - x^{2}$ है.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.4.2

$3 - x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.7

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.8

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.9

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 1 (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.9.2

$x - 4$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

$2$ को $x - 4$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 2 \cdot (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.11.2

$\frac{3 - x^{2} + 2 (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{(3 - x^{2} + 2 (x - 4) x) \cdot 3}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

चरण 3.11.3

$3$ को $3 - x^{2} + 2 (x - 4) x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उत्पाद नियम को $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ पर लागू करें.

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (3 - x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{9 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{2}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.7

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.8

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (- 8 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.9

$- 8$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.10

$- 3 x^{2}$ और $6 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.11

$\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ को $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5.12

घातांक जोड़कर ${(3 - x^{2})}^{2}$ को ${(3 - x^{2})}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.12.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 2}}$

चरण 4.5.12.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

चरण 4.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{{(x - 4)}^{2} (9 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

चरण 4.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$9 + 3 x^{2} - 24 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

चरण 4.7.1.2

$- 24 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

चरण 4.7.1.3

$3 \cdot 3 + 3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

चरण 4.7.1.4

$3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 (3 + x^{2} - 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

चरण 4.7.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

चरण 4.8

$3$ को ${(x - 4)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$