कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x^{2} + 1)}^{\ln (x)}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(x^{2} + 1)}^{\ln (x)}$ को $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})}]$

चरण 1.2

$\ln (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ से बदलें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ है.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 5.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 5.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 5.5.2

$2$ और $\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x)}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 5.5.3

$\frac{2 \ln (x)}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{1}{x})$

चरण 7

$\ln (x^{2} + 1)$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x})$

चरण 8

$\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x})$

चरण 9

$\frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

चरण 10

प्रत्येक व्यंजक को $(x^{2} + 1) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{(x^{2} + 1) x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

चरण 10.2

$\frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ को $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{(x^{2} + 1) x} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)})$

चरण 10.3

$(x^{2} + 1) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{x (x^{2} + 1)} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)})$

चरण 11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x \cdot x + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 12

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) (x^{1} x) + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 13

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) (x^{1} x^{1}) + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x^{1 + 1} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 15

$1$ और $1$ जोड़ें.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 16

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)}$ और $\frac{2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 17.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x)$ को सरल करें.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 17.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 17.2.1.3

$\ln (x^{2} + 1)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 17.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 17.2.3

गुणनखंडों को $e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 17.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.1.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 17.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

चरण 17.3.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x \cdot 1}$

चरण 17.3.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x}$

चरण 17.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x}$