कैलकुलस उदाहरण

$\ln (\sqrt[5]{x^{2} + 1})$

चरण 1

$\sqrt[5]{x^{2} + 1}$ को ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{5}$ है.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 7.2

$1$ में से $5$ घटाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 9

$\frac{1}{5}$ और ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

चरण 11

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ को $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 12

घातांक जोड़कर ${(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}$ को ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ से गुणा करें.

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चरण 12.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{5 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 12.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 12.4

$1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 12.5

$5$ को $5$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 13

$5 {(x^{2} + 1)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 14

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 16

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + 0)$

चरण 17

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 17.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x)$

चरण 17.2

$2$ और $\frac{1}{5 (x^{2} + 1)}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)} x$

चरण 17.3

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{5 (x^{2} + 1)}$