कैलकुलस उदाहरण

$\ln (1 + 2 x)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 1 + 2 x$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + 2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + 2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [2 x]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{1 + 2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.5

$2$ और $\frac{1}{1 + 2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1$

चरण 2.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 2.7.1

$\frac{2}{1 + 2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 + 2 x}$

चरण 2.7.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2}{2 x + 1}$