कैलकुलस उदाहरण

$\ln (\sin (3 x) + e^{x})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (3 x) + e^{x}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (3 x) + e^{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (3 x) + e^{x}$ से बदलें.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (3 x) + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.3.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 4.3.2

$3$ को $\cos (3 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cdot \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 5

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(3 \cos (3 x) + e^{x}) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

चरण 6.3

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}} \cos (3 x) + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

चरण 6.3.2

$\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}}$ और $\cos (3 x)$ को मिलाएं.

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

चरण 6.4

$e^{x}$ और $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ को मिलाएं.

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + \frac{e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$

चरण 6.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 \cos (3 x) + e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$