कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ है.

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \frac{30}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{30}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{30}{x}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.2

चूंकि $30$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{30}{x}$ का व्युत्पन्न $30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.3

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.5

$- 1$ को $30$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (- 30 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.6

$- 30$ और $\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.7

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 30 x^{- 2}}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{- 30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 2.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \arctan (\frac{10}{x})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$ है.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \frac{10}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\frac{10}{x}$ के रूप में सेट करें.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

चरण 3.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\arctan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ है.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{10}{x}$ से बदलें.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

चरण 3.3

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{10}{x}$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

चरण 3.4

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

चरण 3.5

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 (- x^{- 2})))$

चरण 3.6

$- 1$ को $10$ से गुणा करें.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (- 10 x^{- 2}))$

चरण 3.7

$- 10$ और $\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} x^{- 2})$

चरण 3.8

$\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10 x^{- 2}}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$

चरण 3.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

चरण 3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - - \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

चरण 3.11

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + 1 \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

चरण 3.12

$\frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उत्पाद नियम को $\frac{30}{x}$ पर लागू करें.

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

चरण 4.2

उत्पाद नियम को $\frac{10}{x}$ पर लागू करें.

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

चरण 4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.2

$30$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.3

$\frac{900}{x^{2}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.4

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.4.2

$900$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.5

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.6

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.7

$\frac{100}{x^{2}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

चरण 4.5.8

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

चरण 4.5.8.2

$100$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

चरण 4.5.9

$- \frac{30}{x^{2} + 900}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ से गुणा करें.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

चरण 4.5.10

$\frac{10}{x^{2} + 100}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ से गुणा करें.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

चरण 4.5.11

प्रत्येक व्यंजक को $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.11.1

$\frac{30}{x^{2} + 900}$ को $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ से गुणा करें.

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

चरण 4.5.11.2

$\frac{10}{x^{2} + 100}$ को $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ से गुणा करें.

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.5.11.3

$(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.5.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 30 (x^{2} + 100) + 10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

$- 30 (x^{2} + 100)$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.1.2

$10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 3 \cdot 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.3

$- 3$ को $100$ से गुणा करें.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.4

$x^{2}$ में से $3 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 900 - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.5

$900$ में से $300$ घटाएं.

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.6

$- 2 x^{2} + 600$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.1

$- 2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.6.2

$600$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 2 (300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.6.3

$2 (- x^{2}) + 2 (300)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (2 (- x^{2} + 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

$\frac{10 \cdot 2 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.7.7

$10$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{20 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.8

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{20 (- (x^{2}) + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.9

$300$ को $- 1 (- 300)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (- 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.10

$- (x^{2}) - 1 (- 300)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{20 (- (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.11

$- (x^{2} - 300)$ को $- 1 (x^{2} - 300)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{20 (- 1 (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

चरण 4.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{20 (x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$