कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x \cos (\frac{1}{x})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \cos (\frac{1}{x})$ है.

$x \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})] + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{1}{x}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1}{x}$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{x}$ से बदलें.

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$x (- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

गुणा करें.

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चरण 3.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.2

$\sin (\frac{1}{x})$ को $1$ से गुणा करें.

$x (\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{- 2} x^{1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{- 2 + 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \cdot 1$

चरण 8

$\cos (\frac{1}{x})$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

चरण 9

सरल करें.

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चरण 9.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

चरण 9.2

$\frac{1}{x}$ और $\sin (\frac{1}{x})$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x} + \cos (\frac{1}{x})$