कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (4 x^{2} + 3 x - 1)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x^{2} + 3 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x^{2} + 3 x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.5

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 + 0)$

चरण 2.9

$8 x + 3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3)$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1}$

चरण 3.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 3.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ है और जिसका योग $b = 3$ है.

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चरण 3.2.1.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + 3 (x) - 1}$

चरण 3.2.1.2

$3$ को $- 1$ जोड़ $4$ के रूप में फिर से लिखें

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + (- 1 + 4) x - 1}$

चरण 3.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} - 1 x + 4 x - 1}$

चरण 3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

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चरण 3.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(8 x + 3) \frac{1}{(4 x^{2} - 1 x) + 4 x - 1}$

चरण 3.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(8 x + 3) \frac{1}{x (4 x - 1) + 1 (4 x - 1)}$

चरण 3.2.3

महत्तम समापवर्तक, $4 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(8 x + 3) \frac{1}{(4 x - 1) (x + 1)}$

चरण 3.3

$8 x + 3$ को $\frac{1}{(4 x - 1) (x + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{8 x + 3}{(4 x - 1) (x + 1)}$