कैलकुलस उदाहरण

$y = (2 x^{5} + 3) \cos (x^{2})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 2 x^{5} + 3$ और $g (x) = \cos (x^{2})$ है.

$(2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$(2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

चरण 3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{5} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 3.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{5}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 3.6

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + 0)$

चरण 3.8

$10 x^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x^{5} (- 2 \sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.2.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 4 x^{5} (\sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

चरण 4.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 4 (x^{1} x^{5}) \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

चरण 4.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 4 x^{1 + 5} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

चरण 4.2.4

$1$ और $5$ जोड़ें.

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

चरण 4.2.5

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 \sin (x^{2}) x + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 x \sin (x^{2}) + 10 x^{4} \cos (x^{2})$