कैलकुलस उदाहरण

$y = (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{4}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 4 x - 1$ और $g (x) = {(3 x + 1)}^{4}$ है.

$(4 x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 3 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$(4 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$(4 x - 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 1$ से बदलें.

$(4 x - 1) (4 {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$4$ को $4 x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \cdot (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3.7.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

चरण 3.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.9

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.10

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.11

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.12

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + 0)$

चरण 3.13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \cdot 4$

चरण 3.13.2

$4$ को ${(3 x + 1)}^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 \cdot {(3 x + 1)}^{4}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(12 (4 x) + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

चरण 4.2

$4$ को $12$ से गुणा करें.

$(48 x + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

चरण 4.3

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

चरण 4.4

$(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$ में से ${(3 x + 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3}$ में से ${(3 x + 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

चरण 4.4.2

$4 {(3 x + 1)}^{4}$ में से ${(3 x + 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$

चरण 4.4.3

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$ में से ${(3 x + 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12 + 4 (3 x + 1))$