कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (8 x + \sqrt{x}) (5 x^{2} + 3)$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 x^{2} + 3)]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 5 x^{2} + 3$ है.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3] + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$10 x$ और $0$ जोड़ें.

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.6.2

$10$ को $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$10 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.8

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.10

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(10 (8 x) + 10 x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$10 (8 x) x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$8$ को $10$ से गुणा करें.

$80 x \cdot x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$80 (x^{1} x) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$80 (x^{1} x^{1}) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$80 x^{1 + 1} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$80 x^{2} + 10 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$80 x^{2} + 10 x^{1 + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.8

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2 + 1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.3.10

$2$ और $1$ जोड़ें.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$80 x^{2} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$80 x^{2} + 5 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.1

$8$ को $5$ से गुणा करें.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.2.1

$5 x^{2}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.2.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.3

$5$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.4

$x^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{5}{2}$ को मिलाएं.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.5

$5$ को $x^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.6

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.5.2.7

$3$ और $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.6

$80 x^{2}$ और $40 x^{2}$ जोड़ें.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

चरण 11.7

$10 x^{\frac{3}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.8

$10 x^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.10.1

$5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ में से $5 x^{\frac{3}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.10.1.1

$x^{\frac{3}{2}}$ ले जाएं.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.10.1.2

$5 x^{\frac{3}{2}}$ में से $5 x^{\frac{3}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.10.1.3

$10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ में से $5 x^{\frac{3}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.10.1.4

$5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ में से $5 x^{\frac{3}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.10.3

$1$ और $4$ जोड़ें.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.10.4

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$120 x^{2} + \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$