कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2 x}{x + \sqrt{x}}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.2

$x + x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.4

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 11

$2$ और $\frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x \cdot 1 - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x \cdot 1) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.3

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.4.1

$- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + \frac{- x}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x)}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + 1}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.6.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.1.6.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.2

$2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 0 - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.2.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.3.3

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$x + x^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{1} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.4.1.2

$x^{1}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12.4.1.3

$1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)}^{2}}$

चरण 12.4.1.4

$x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1))}^{2}}$

चरण 12.4.2

उत्पाद नियम को $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ पर लागू करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.4.3

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.4.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.4.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.4.4

सरल करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 12.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.6.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.6.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$