कैलकुलस उदाहरण

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ है.

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \frac{9}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{9}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{9}{x}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.2

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{9}{x}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.3

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.5

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.6

$- 9$ और $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.7

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 2.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \frac{3}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\frac{3}{x}$ के रूप में सेट करें.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

चरण 3.1.2

$u_{2}$ के संबंध में $\arctan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ है.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

चरण 3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{3}{x}$ से बदलें.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

चरण 3.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{3}{x}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 3.3

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

चरण 3.4

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

चरण 3.5

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

चरण 3.6

$- 3$ और $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

चरण 3.7

$\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

चरण 3.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

चरण 3.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उत्पाद नियम को $\frac{9}{x}$ पर लागू करें.

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

चरण 4.2

उत्पाद नियम को $\frac{3}{x}$ पर लागू करें.

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

चरण 4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.2

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.3

$\frac{81}{x^{2}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.4

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.4.2

$81$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.5

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.6

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

चरण 4.5.7

$\frac{9}{x^{2}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

चरण 4.5.8

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

चरण 4.5.8.2

$9$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

चरण 4.5.9

$- \frac{9}{x^{2} + 81}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ से गुणा करें.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

चरण 4.5.10

$- \frac{3}{x^{2} + 9}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ से गुणा करें.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

चरण 4.5.11

प्रत्येक व्यंजक को $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.11.1

$\frac{9}{x^{2} + 81}$ को $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ से गुणा करें.

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

चरण 4.5.11.2

$\frac{3}{x^{2} + 9}$ को $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ से गुणा करें.

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

चरण 4.5.11.3

$(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.5.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

$- 9 (x^{2} + 9)$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.1.2

$- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.3

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.4

$x^{2}$ और $3 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.5

$81$ और $27$ जोड़ें.

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.6

$4 x^{2} + 108$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.1

$4 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.6.2

$108$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.6.3

$4 x^{2} + 4 \cdot 27$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.7.7

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

चरण 4.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$