कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (x^{3} - 12 x) (3 x^{2} + 2 x)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3} - 12 x$ और $g (x) = 3 x^{2} + 2 x$ है.

$(x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x] + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$(x^{3} - 12 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

चरण 2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(x^{3} - 12 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(x^{3} - 12 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

चरण 2.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

चरण 2.5

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2 \cdot 1) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

चरण 2.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

चरण 2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 12 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ है.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

चरण 2.10

चूंकि $- 12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12 x$ का व्युत्पन्न $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.11

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12 \cdot 1)$

चरण 2.12

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2)$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.1.2

$(3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$

चरण 3.1.3

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$

चरण 3.2

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ को $1$ से गुणा करें.

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(6 x + 2) (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(6 x + 2) (x^{3} - 12 x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 x (x^{3} - 12 x) + 2 (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (- 12 x) + 2 (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

$x^{3}$ ले जाएं.

$6 (x^{3} x) + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2.1.2

$x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (x^{3} x^{1}) + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 x^{3 + 1} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2.1.3

$3$ और $1$ जोड़ें.

$6 x^{4} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.3.1

$x$ ले जाएं.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2.4

$6$ को $- 12$ से गुणा करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.2.5

$- 12$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2} - 12) + 2 x (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2} - 12)$

चरण 3.4.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.4

$- 12$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.6.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.6.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.6.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{3} + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.7

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 6 x^{3} + 2 x \cdot - 12$

चरण 3.4.4.8

$- 12$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 6 x^{3} - 24 x$

चरण 3.5

$6 x^{4}$ और $9 x^{4}$ जोड़ें.

$15 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x - 36 x^{2} + 6 x^{3} - 24 x$

चरण 3.6

$- 72 x^{2}$ में से $36 x^{2}$ घटाएं.

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 6 x^{3} - 24 x$

चरण 3.7

$2 x^{3}$ और $6 x^{3}$ जोड़ें.

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 8 x^{3} - 24 x - 24 x$

चरण 3.8

$- 24 x$ में से $24 x$ घटाएं.

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x$