कैलकुलस उदाहरण

$\cos ({(1 - x^{2})}^{2})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = {(1 - x^{2})}^{2}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(1 - x^{2})}^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(1 - x^{2})}^{2}$ से बदलें.

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $1 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

चरण 3.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 3.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

चरण 3.6

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (2 x))$

चरण 3.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.8.1

$2$ को $1 - x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 \cdot (1 - x^{2}) x)$

चरण 3.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) x)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (1 x - x^{2} x)$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.2.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{2} x)$

चरण 4.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - (x^{1} x^{2}))$

चरण 4.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{1 + 2})$

चरण 4.2.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{3})$