कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{2} e^{4 x + 1}$

चरण 1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2} e^{4 x + 1}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x + 1}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x + 1}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{4 x + 1}$ है.

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x + 1}] + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 4 x + 1$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x + 1$ से बदलें.

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 + 0)) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.6.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} \cdot 4) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.6.2

$4$ को $e^{4 x + 1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (x^{2} (4 \cdot e^{4 x + 1}) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (x^{2} (4 e^{4 x + 1}) + e^{4 x + 1} (2 x))$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (x^{2} (4 e^{4 x + 1})) + 3 (e^{4 x + 1} (2 x))$

चरण 5.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 5.2.1

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$12 (x^{2} (e^{4 x + 1})) + 3 (e^{4 x + 1} (2 x))$

चरण 5.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$12 x^{2} e^{4 x + 1} + 6 e^{4 x + 1} x$

चरण 5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$12 e^{4 x + 1} x^{2} + 6 e^{4 x + 1} x$

चरण 5.4

गुणनखंडों को $12 e^{4 x + 1} x^{2} + 6 e^{4 x + 1} x$ में पुन: क्रमित करें.

$12 x^{2} e^{4 x + 1} + 6 x e^{4 x + 1}$