कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 \ln (1 + x^{2})$

चरण 1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \ln (1 + x^{2})$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$3 (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{3}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{3}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{3}{1 + x^{2}} (2 x)$

चरण 3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 3.6.1

$2$ और $\frac{3}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 3}{1 + x^{2}} x$

चरण 3.6.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6}{1 + x^{2}} x$

चरण 3.6.3

$\frac{6}{1 + x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{6 x}{1 + x^{2}}$

चरण 3.6.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$