कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{24 x + 10}{x^{2} + 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 24 x + 10$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [24 x + 10] - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $24 x + 10$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $24 x$ का व्युत्पन्न $24 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.4

$24$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $10$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $10$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + 0) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$24$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 24 - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.6.2

$24$ को $x^{2} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{24 \cdot (x^{2} + 1) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.10.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{24 (x^{2} + 1) - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 + (- 2 (24 x) - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$24$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 (x \cdot x)) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x^{2}) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.3

$24$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.4

$- 2$ को $10$ से गुणा करें.

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$24 x^{2}$ में से $48 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- 24 x^{2} + 24 - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 24 x^{2} - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$- 24 x^{2} - 20 x + 24$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

$- 24 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- 6 x^{2}) - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.1.2

$- 20 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.1.3

$24$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.1.4

$4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.1.5

$4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 6 \cdot 6 = - 36$ है और जिसका योग $b = - 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.1

$- 5 x$ में से $- 5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 (x) + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2.1.2

$- 5$ को $4$ जोड़ $- 9$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{4 (- 6 x^{2} + (4 - 9) x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (- 6 x^{2} + 4 x - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{4 ((- 6 x^{2} + 4 x) - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (2 x (- 3 x + 2) + 3 (- 3 x + 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- 3 x + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{4 ((- 3 x + 2) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{4 (- 3 x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7

$- 3 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- (3 x) + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.8

$2$ को $- 1 (- 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 (- (3 x) - 1 (- 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.9

$- (3 x) - 1 (- 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.10

$- (3 x - 2)$ को $- 1 (3 x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 (- 1 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.12

गुणनखंडों को $- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{4 (3 x - 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$