कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln ({(x^{4} + 1)}^{2})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x^{4} + 1)}^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{4} + 1)}^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{4} + 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{4} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{4} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$2$ और $\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))$

चरण 3.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 3.5.1

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))$

चरण 3.5.2

$4$ को $x^{4} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (4 \cdot (x^{4} + 1) x^{3})$

चरण 3.5.3

$4$ और $\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 \cdot 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

चरण 3.5.4

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

चरण 3.5.5

$x^{3}$ और $\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

चरण 3.5.6

$8$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{8 \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

$\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 4.2

$x^{4} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 4.2.1

${(x^{4} + 1)}^{2}$ में से $x^{4} + 1$ का गुणनखंड करें.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

चरण 4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

चरण 4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 1}$