कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{\cos (8 x) - 1}{\sin (9 x)}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (8 x) - 1$ और $g (x) = \sin (9 x)$ है.

$\frac{\sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x) - 1] - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\cos (8 x) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{\sin (9 x) (\frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 8 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $8 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\sin (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 3.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $8 x$ से बदलें.

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 4.2

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 4.4

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) + 0) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 4.6

$- 8 \sin (8 x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 9 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $9 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 5.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $9 x$ से बदलें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 6.2

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 6.3

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) \cdot 1}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 6.4

$- 9$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) + (- 9 \cos (8 x) - 9 \cdot - 1) \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) - 9 \cdot - 1 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 7.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 7.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- 8 \sin (9 x) \sin (8 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) - 9 \cdot - 1 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 7.3.2

$- 9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 8 \sin (9 x) \sin (8 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) + 9 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

चरण 7.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 8 \sin (8 x) \sin (9 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) + 9 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$