कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{\csc (2 x)}$

चरण 1

$\sqrt{\csc (2 x)}$ को ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \csc (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\csc (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\csc (2 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ और ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 8

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \csc (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 8.2

$u_{2}$ के संबंध में $\csc (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ है.

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 8.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 9

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ और $\csc (2 x)$ को मिलाएं.

$- \frac{\csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 9.2

$\cot (2 x)$ और $\frac{\csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 9.3

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 10

घातांक जोड़कर $\csc (2 x)$ को ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$- \frac{\cot (2 x) ({\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \csc (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 10.2

${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को $\csc (2 x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\csc (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{\cot (2 x) ({\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \csc^{1} (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 10.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 10.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 10.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 10.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 11

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 12

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 12.2

$- 2$ और $\frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 (\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 12.3

$- 2 \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.4

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

चरण 15

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 15.2

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cot (2 x)$