कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} \log_{4} (3 - x)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \log_{4} (3 - x)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{4} (3 - x)] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log_{4} (x)$ और $g (x) = 3 - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 - x$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{4} (u)] \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\log_{4} (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u \ln (4)}$ है.

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 - x$ से बदलें.

$x^{2} (\frac{1}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{(3 - x) \ln (4)}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [- x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- \frac{d}{d x} [x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- 1 \cdot 1) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \cdot - 1 + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.7.2

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \cdot - 1}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.7.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

$- 1$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 1 \cdot x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.7.3.2

$- 1 x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.7.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) (2 x)$

चरण 3.9

$\log_{4} (- x + 3)$ ले जाएं.

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3)$

चरण 4

$2 x \log_{4} (- x + 3)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3) \cdot \frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$

चरण 5

$2 x \log_{4} (- x + 3)$ और $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + \frac{2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \log_{4} (- x + 3)$ को सरल करें.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.3.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (4)$ को सरल करें.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (4^{3}))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.3.1.2.2

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4)) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.3.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) x + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.3.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{- x^{2} - \ln (4) (x \cdot x) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.3.1.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.3.2

गुणनखंडों को $- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{- x^{2} - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.4

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2}) - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.5

$- x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.6

$- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.7

$x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.8

$- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.9

$- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ को $- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.10

$- x \ln (4)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) + 3 \ln (4)}$

चरण 7.11

$3 \ln (4)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))}$

चरण 7.12

$- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

चरण 7.13

$- (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ को $- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

चरण 7.14

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

चरण 7.15

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$

चरण 7.16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \ln (64) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$