कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

चरण 1

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $3 e^{2 y} + 1 = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 e^{2 y} + 1 = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$3 e^{2 y} = x - 1$

चरण 3.3

$3 e^{2 y} = x - 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$3 e^{2 y} = x - 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

चरण 3.3.2.1.2

$e^{2 y}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

चरण 3.4

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

चरण 3.5

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 y})$ का प्रसार करें.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

चरण 3.5.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

चरण 3.5.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

चरण 3.6

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

चरण 3.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

चरण 3.6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ , $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

चरण 5.2.3

$\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

चरण 5.2.4

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ को सरल करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.1

$3 e^{2 x}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5.3

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.6

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

$e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.6.1.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.6.1.3

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.6.1.4

$e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.6.2

घातांक को ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.6.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.2.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

चरण 5.2.7

$x$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

चरण 5.2.8

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

चरण 5.2.9

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

चरण 5.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

चरण 5.3.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

चरण 5.3.3.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

चरण 5.3.3.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

चरण 5.3.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

चरण 5.3.4

$x - 1 + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

चरण 5.3.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ , $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$