कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

चरण 1

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

चरण 3.2

दोनों पक्षों को $1 - e^{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$1 - e^{y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

चरण 3.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

चरण 3.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$x (1 - e^{y})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

चरण 3.3.2.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.2.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

चरण 3.3.2.1.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x e^{y}$ जोड़ें.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

चरण 3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

चरण 3.4.3

$e^{y} + x e^{y}$ में से $e^{y}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$1$ से गुणा करें.

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

चरण 3.4.3.2

$x e^{y}$ में से $e^{y}$ का गुणनखंड करें.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

चरण 3.4.3.3

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ में से $e^{y}$ का गुणनखंड करें.

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

चरण 3.4.4

$e^{y} (1 + x) = x - 1$ के प्रत्येक पद को $1 + x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$e^{y} (1 + x) = x - 1$ के प्रत्येक पद को $1 + x$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

चरण 3.4.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1

$1 + x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

चरण 3.4.4.2.1.2

$e^{y}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

चरण 3.4.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

चरण 3.4.5

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

चरण 3.4.6

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1

$y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{y})$ का प्रसार करें.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

चरण 3.4.6.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

चरण 3.4.6.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ , $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

चरण 5.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

चरण 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ को $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

चरण 5.2.4.2

जोड़ना.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

चरण 5.2.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

चरण 5.2.6

रद्द करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

$1 - e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

चरण 5.2.6.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

चरण 5.2.6.2

$1 - e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

चरण 5.2.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.7.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.7.3

$- e^{x} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.7.3.2

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.7.4

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.7.5

$0$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.7.6

$e^{x}$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.8

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.8.1

$1 - e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

चरण 5.2.8.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

चरण 5.2.8.3

$- e^{x}$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

चरण 5.2.8.4

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

चरण 5.2.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

चरण 5.2.9.2

$e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

चरण 5.2.10

$x$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

चरण 5.2.11

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

चरण 5.2.12

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ का मान ज्ञात करें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

चरण 5.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

चरण 5.3.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

चरण 5.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

चरण 5.3.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

चरण 5.3.3.5

$\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1

$x$ और $x$ जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

चरण 5.3.3.5.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

चरण 5.3.3.5.3

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

चरण 5.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

चरण 5.3.4.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

चरण 5.3.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

चरण 5.3.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

चरण 5.3.4.5

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

चरण 5.3.4.5.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

चरण 5.3.4.5.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

चरण 5.3.4.5.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

चरण 5.3.4.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

चरण 5.3.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

चरण 5.3.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.6.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

चरण 5.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

चरण 5.3.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

चरण 5.3.7

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

चरण 5.3.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ , $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$