कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

चरण 1

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

चरण 3.2

दोनों पक्षों को $1 + 2 e^{y}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$1 + 2 e^{y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

चरण 3.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

चरण 3.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$x (1 + 2 e^{y})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

चरण 3.3.2.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.2.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

चरण 3.3.2.1.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x e^{y}$ घटाएं.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

चरण 3.4.2

$e^{y} - 2 x e^{y}$ में से $e^{y}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$1$ से गुणा करें.

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

चरण 3.4.2.2

$- 2 x e^{y}$ में से $e^{y}$ का गुणनखंड करें.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

चरण 3.4.2.3

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ में से $e^{y}$ का गुणनखंड करें.

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

चरण 3.4.3

$e^{y} (1 - 2 x) = x$ के प्रत्येक पद को $1 - 2 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$e^{y} (1 - 2 x) = x$ के प्रत्येक पद को $1 - 2 x$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

चरण 3.4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.2.1

$1 - 2 x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

चरण 3.4.3.2.1.2

$e^{y}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

चरण 3.4.4

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

चरण 3.4.5

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{y})$ का प्रसार करें.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

चरण 3.4.5.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

चरण 3.4.5.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ , $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

चरण 5.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

चरण 5.2.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$- 2$ और $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

चरण 5.2.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

चरण 5.2.4.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

चरण 5.2.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

चरण 5.2.4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

चरण 5.2.4.6

$\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.6.1

$2 e^{x}$ में से $2 e^{x}$ घटाएं.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

चरण 5.2.4.6.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

चरण 5.2.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

चरण 5.2.6

$2 e^{x} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

चरण 5.2.7

$\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ को $2 e^{x} + 1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

चरण 5.2.8

$2 e^{x} + 1$ और $1 + 2 e^{x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.8.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

चरण 5.2.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

चरण 5.2.8.3

$e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

चरण 5.2.9

$x$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

चरण 5.2.10

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

चरण 5.2.11

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ का मान ज्ञात करें.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

चरण 5.3.3

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

चरण 5.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

चरण 5.3.4.2

$2$ और $\frac{x}{1 - 2 x}$ को मिलाएं.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

चरण 5.3.4.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

चरण 5.3.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

चरण 5.3.4.5

$\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.5.1

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

चरण 5.3.4.5.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

चरण 5.3.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

चरण 5.3.6

$1 - 2 x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

चरण 5.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ , $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$