कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$

चरण 1

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 2 x^{2} + 3 x + 1$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 2 y^{2} + 3 y + 1$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $2 y^{2} + 3 y + 1 = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y^{2} + 3 y + 1 = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$2 y^{2} + 3 y + 1 - x = 0$

चरण 3.3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.4

द्विघात सूत्र में $a = 2$ , $b = 3$ और $c = 1 - x$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.5.1.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.5.1.4

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.5.1.5

$- 1$ को $- 8$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.5.1.6

$9$ में से $8$ घटाएं.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

चरण 3.6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.6.1.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.6.1.4

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.6.1.5

$- 1$ को $- 8$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.6.1.6

$9$ में से $8$ घटाएं.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

चरण 3.6.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = \frac{- 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

चरण 3.6.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

चरण 3.6.5

$\sqrt{1 + 8 x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

चरण 3.6.6

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

चरण 3.6.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

चरण 3.7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.7.1.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.7.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.7.1.4

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.7.1.5

$- 1$ को $- 8$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.7.1.6

$9$ में से $8$ घटाएं.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

चरण 3.7.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = \frac{- 3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

चरण 3.7.4

$- 3 - \sqrt{1 + 8 x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1

$1$ और $8 x$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{- 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

चरण 3.7.4.2

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

चरण 3.7.4.3

$- \sqrt{8 x + 1}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{8 x + 1})}{4}$

चरण 3.7.4.4

$- 1 (3) - (\sqrt{8 x + 1})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

चरण 3.7.4.5

$- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})$ को $- (3 + \sqrt{8 x + 1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

चरण 3.7.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

चरण 3.8

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ , $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम का डोमेन मूल फंक्शन का परास और इसके विपरीत है. $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ और $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ का डोमेन और परास ज्ञात करें और उनकी तुलना करें.

चरण 5.2

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

चरण 5.3

$- \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

रेडिकैंड को $\sqrt{1 + 8 x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$1 + 8 x \geq 0$

चरण 5.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$8 x \geq - 1$

चरण 5.3.2.2

$8 x \geq - 1$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

$8 x \geq - 1$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

चरण 5.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

चरण 5.3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{- 1}{8}$

चरण 5.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x \geq - \frac{1}{8}$

चरण 5.3.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

चरण 5.4

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

$(- \infty, \infty)$

चरण 5.5

चूँकि $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ का डोमेन $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ का परास है और $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ का डोमेन $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ का डोमेन है, तो $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ , $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

चरण 6