कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

चरण 1

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

चरण 3.2

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

चरण 3.2.2.1.2

$e^{\frac{1}{3} y + 1}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

चरण 3.2.2.2

$\frac{1}{3}$ और $y$ को मिलाएं.

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

चरण 3.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

चरण 3.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\frac{y}{3} + 1$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ का प्रसार करें.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

चरण 3.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

चरण 3.4.3

$\frac{y}{3} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

चरण 3.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

चरण 3.6

समीकरण के दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करें.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

चरण 3.7

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

चरण 3.7.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

चरण 3.7.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

चरण 3.7.2.1.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ , $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

चरण 5.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

चरण 5.2.3.1.2

$e^{\frac{1}{3} x + 1}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

चरण 5.2.3.2

$\frac{1}{3} x + 1$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

चरण 5.2.3.3

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

चरण 5.2.3.4

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

चरण 5.2.3.5

$\frac{x}{3} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

चरण 5.2.3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

चरण 5.2.3.7

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

चरण 5.2.3.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

चरण 5.2.3.8

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

चरण 5.2.4

$x + 3 - 3$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$3$ में से $3$ घटाएं.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

चरण 5.2.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ का मान ज्ञात करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (\frac{x}{3})$ को सरल करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

चरण 5.3.3.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{x}{3}$ पर लागू करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

चरण 5.3.3.1.3

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

चरण 5.3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

चरण 5.3.3.3

$\frac{1}{3}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ को सरल करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

चरण 5.3.3.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.4.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

चरण 5.3.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

चरण 5.3.3.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1

उत्पाद नियम को $\frac{x^{3}}{27}$ पर लागू करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.2.1

घातांक को ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.2.2

सरल करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.3.1

$27$ को $3^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.3.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.3.5.3.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

चरण 5.3.4

$\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

चरण 5.3.4.2

$\ln (\frac{x}{3})$ और $0$ जोड़ें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

चरण 5.3.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

चरण 5.3.6

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

चरण 5.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ , $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$